Как подготовиться к вступительным экзаменам в лицей вшэ

Как подготовиться к вступительным экзаменам в лицей вшэ

Разбора заданий вступительного тестирования в лицей при ВШЭ

1. Найдите значение выражения

    \[ \left(4u-4v+\frac{v^2}{u}\right):\left(2-\frac{v}{u}\right) \]

при u = 5+3\sqrt{3}, v = 6\sqrt{3}-5.

Упростим сперва выражение, находящееся в левых скобках:

    \[ 4u-4v+\frac{v^2}{u} = \frac{4u^2-4uv+v^2}{u} = \frac{(2u-v)^2}{u}. \]

Выражение, стоящее в правых скобках, может быть также преобразовано к виду:

    \[ 2-\frac{v}{u} = \frac{2u-v}{u}. \]

Тогда после деления результата первого действия на результат второго мы получаем:

    \[ \frac{(2u-v)^2}{u} : \frac{2u-v}{u} = \frac{(2u-v)^2\cdot u}{u\cdot (2u-v)} = 2u-v. \]

Подставляем в полученное выражение данные из условия. В результате получаем:

    \[ 2u-v = 2(5+3\sqrt{3})-(6\sqrt{3}-5) = \]

    \[ = 10+6\sqrt{3}-6\sqrt{3}+5 = 15. \]

2. Вычислите значение выражения:

    \[ \left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}-5}{\sqrt{3}}\right)\cdot\frac{\sqrt{30}}{3+5\sqrt{2}}. \]

Начнём с упрощения выражения, стоящего в скобках. Как видите, общий знаменатель равен: \sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{6}. Тогда получается следующее выражение:

    \[ \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-5)}{\sqrt{6}} = \]

    \[ = \frac{\sqrt{6}+3-\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{3+5\sqrt{2}}{\sqrt{6}}. \]

Далее полученные выражение умножаем на дробь, записанную справа от знака умножения:

    \[ \frac{3+5\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{30}}{3+5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \sqrt{5}. \]

Пусть искомое число процентов равно n. Тогда после уменьшения y на n процентов останется \frac{100-n}{100}y. При этом при уменьшении x на 52% получится 0.48x. Тогда полученные после этих преобразований число равно:

    \[ \frac{0.48x}{\frac{100-n}{100}y}= \frac{48x}{(100-n)y}. \]

По условию это число составляет 240% от исходного числа \frac{x}{y}. Следовательно, имеет место уравнение:

    \[ \frac{48x}{(100-n)y} = 2.4\frac{x}{y}. \]

Так как понятно, что \frac{x}{y}\ne 0, обе части уравнения можно разделить на \frac{x}{y}. Тогда для n\ne 100 в результате получаем:

    \[ \frac{48}{100-n} = 2.4\Rightarrow 100-n = 20\Leftrightarrow n = 80. \]

То есть число y было уменьшено на 80%.

4. Найдите наибольшее значение функции

    \[ y = 6x+5-\frac{x^2}{4}. \]

Представлена квадратичная функция с коэффициентами a=-\frac{1}{4}, b = 6 и c=5. Графиком этой квадратичной функции является парабола. Ветви этой параболы направлены вниз, поскольку коэффициент a<0.

Следовательно, наиболее значение эта функция принимает в вершине соответствующей параболы. Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:

    \[ x_0=-\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)} = 12. \]

Тогда легко находится ордината вершины. Она и будет являться наибольшим значением данной функции:

    \[ y_0 = 6x_0+5-\frac{x_0^2}{4} = 6\cdot 12 +5 -\frac{12^2}{4} = 41. \]

5. Найдите сумму квадратов корней уравнения 2x^2+82x+81=0.

Сперва разделим обе части этого уравнения на 2. Тогда получится следующее уравнение: x^2+41x+\frac{81}{2}=0. Зачем мы это сделали? Чтобы коэффициент при x^2 стал равен 1.

Теперь можно воспользоваться теоремой Виета. Пусть x_1 и x_2 — корни данного квадратного уравнения. Тогда имеем:

    \[ \begin{cases} x_1+x_2=-41 \\ x_1x_2 = \frac{81}{2}. \end{cases} \]

Умножим на 2 обе части второго уравнения, а в первом уравнении обе части возведём в квадрат и раскроем скобки. В результате получаем:

    \[ \begin{cases} x_1^2+2x_1x_2+x_2^2= 1681\\ 2x_1x_2 = 81. \end{cases} \]

Теперь вычтем почленно второе уравнение системы из первого и в результате получим требуемый ответ:

    \[ x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 - 2x_1x_2 = 1681-81, \]

    \[ x_1^2+x_2^2 = 1600. \]

6, Решите неравенство

    \[ \frac{3-10x}{\sqrt{3-4x-4x^2}}>0. \]

Начнём с определения области допустимых значений данного неравенства. Известно, что выражение, стоящее в знаменателе дроби, не может быть равно 0, а выражение, стоящее под знаком корня, не может быть отрицательным. Следовательно, область допустимых значений данного неравенства определяется следующим условием: 3-4x-4x^2>0.

Для всех x, удовлетворяющих этому условию, исходное неравенство эквивалентно следующему: 3-10x>0. Получается, что исходное сложное неравенство эквивалентно следующей системе неравенств:

    \[ \begin{cases} 3-4x-4x^2> 0\\ 3-10x>0. \end{cases} \]

Решаем первое неравенство системы методом интервалов. Второе неравенство решается элементарным образом. В результате приходим к следующей системе:

    \[ \begin{cases} -\frac{3}{2}<x<\frac{1}{2}\\ x<\frac{3}{10}. \end{cases} \]

Ответом к заданию будет пересечение промежутков, служащих решением каждого из неравенств данной системы. Итак, ответ: x\in\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{10}\right).

7. Найдите площадь равнобедренного треугольника ABC, если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена высота BE длиной 10 и высота AD длиной 12:

Равнобедренный треугольник с высотами, проведенными к боковой стороне и к основанию

Введём следующие обозначения. Пусть BC = a и AC = b. Известно, что площадь треугольника вычисляется путём умножения длины его высоты на половину длины основания, к которому эта высота проведена. Тогда площадь треугольника ABC с одной стороны равна 6a, а с другой стороны — 5b. То есть a = \frac{5}{6}b.

Поскольку высота BE проведена в равнобедренном треугольнике ABC к основанию AC, то она является также и медианой этого треугольника. Следовательно, EC = \frac{1}{2}b. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BEC получаем:

    \[ 10^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2\Leftrightarrow 400 + b^2 = 4a^2. \]

С учётом найденной ранее связи между a и b получаем:

    \[ 400 + b^2 = 4\times\left(\frac{5}{6}b\right)^2\Rightarrow b = 15. \]

Тогда искомая площадь треугольника равна 75.

Пусть разность данной арифметической прогрессии равна d. Обращаем сразу внимание на то, что третий член арифметической прогрессии получается вычитанием удвоенной разности этой прогрессии из пятого её члена. В cвою очередь, седьмой член арифметической прогрессии получается добавлением удвоенной разности этой прогрессии к пятому её члену.

Аналогично, девятый член арифметической прогрессии получается вычитанием удвоенной разности этой прогрессии из одиннадцатого её члена. А тринадцатый член арифметической прогрессии получается добавлением удвоенной разности этой прогрессии к одиннадцатому её члену.

С учётом этих обстоятельств получаем:

    \[ a_3+a_7+a_9+a_{13} = a_5-2d+a_5+2d+ \]

    \[ + a_{11}-2d+a_{11}+2d =2(a_5+a_{11}) = 30. \]

9. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, который приедет в В через 2 часа, одновременно с ним из В в А вышел пешеход, который придет в А через 6 часов. Через какое время они встретятся?

Здесь в варианте вступительного тестирования по математике в лицей ВШЭ предлагается решить задачу на движение. Пусть скорость пешехода равна x. Тогда скорость велосипедиста равна 3x, ведь он движется в 3 раза быстрее пешехода. Тогда скорость сближения велосипедиста и пешехода равна 4x, что в 4 раза больше скорости пешехода. Значит, в сумме они преодолеют расстояние от A к В (то есть встретятся), спустя промежуток времени, который в четыре раза меньше того времени, которое требуется пешеходу, чтобы дойти из пункта A в пункт B. То есть через \frac{6}{4} = 1.5 часа.

10. Взяли 5 листов бумаги, один из них разрезали на 5 частей, один из полученных снова на 5 и так далее. Какое число листов можно таким образом получить? 2015, 2016, 2017 или 2018?

Если записать в ряд количество листков, которые получаются в результате всех этих действий на каждой итерации, то получится арифметическая прогрессия с разностью 4. Значит, может получиться только число, которое при уменьшении на 5 делилось бы нацело на 4. Из всех предложенных это число 2017.